С Днем российской науки!

Пишет Leb, 08.02.2013 13:21

С Днем российской науки! (Альпинизм, день российской науки, на досуге)


Сегодня 8 февраля.
Поздравляю всех рисковчан с Днем российской науки!
Считайте риски, дорогие товарищи!


И пользуясь случаем вспомним наших замечательных альпинистов и туристов, наших учителей и товарищей, живущих с нами и уже ушедших, которые были не только фанатами гор, но еще и учеными. Их много, очень много, начиная с Отто Юльевича Шмидта... И в горах с ними всегда так интересно!

К этому празднику я сделал для себя подарок, а именно, наконец-то разобрался с парадоксом полкового парикмахера.

Парадокс очень простой.
Полковой парикмахер бреет тех и только тех, кто сам не бреется. Бреет ли он себя?

Если парикмахер бреется, то, значит, он бреется сам, а ведь таких особей он не бреет. Если парикмахер не бреется, то он бреет себя, потому что он бреет всех, кто сам не бреется. С какой стороны не посмотришь - фигня какая то...

Еще похожие формулировки:

1). В одной стране вышел указ: «Мэры всех городов должны жить не в своем городе, а в специальном Городе мэров». Где должен жить мэр Города мэров?

2). Некая библиотека решила составить библиографический каталог, в который входили бы все те и только те библиографические каталоги, которые не содержат ссылок на самих себя. Должен ли такой каталог включать ссылку на себя?

196


Комментарии:
0
Глубоко копает российская наука, занимаясь решением этих парадоксов! Теперь понятно, чем заняты умы учёных мужей.

2
Недавно, когда я на улице общался с коллегой по мобиле и упомянул слово "публикации", какой-то пьянчужка попытался уговорить меня покинуть место, где я стоял. Не без угроз и трясения пьяными руками около моего носа. А после скандала с ВАК упоминание об ученой степени вообще не стоит озвучивания, подумают, жулик или того хуже.

14
Криминальная хроника
Полиция обезвредила преступную группу, продающую в метрополитене любые дипломы и аттестаты. "К сожалению, у нас не хватило доказательств, и задержанных пришлось отпустить", - сообщил нашей газете доктор исторических наук профессор младший сержант полиции Иванов.


4
- Хаим, ты знаешь, что в Одессу приезжает Эйнштеин?
- А кто это?
- Знаменитый физик.
- А что он сделал?
- Изобрел Теорию Относительности.
- А что это такое?
- Ну как тебе объяснить? Вот у тебя на голове два волоса - это много или мало?
- Мало!
- А теперь представь эти два волоса у себя в супе!
- И с этой хохмочкой он едет в Одессу?
------------------------
Типа умы учёных мужей _не_ заняты ни волосами в супе, ни парадоксом Рассела.

1
Зарядка мозгов, проведенная в первой четверти жизни в виде базового естественнонаучного обучения -
спасает от необоснованно рискованных действий всегда. Почти всегда.
Виват науке!

0
Да уж. Заниматься наукой в наше время - дело действительно рискованное... Эх...

3
Из примерно ста товарищей-экстрималов, пять - кандидаты наук.
Сам я стараюсь не бриться, и других на брить.

4
А я наоборот, бреюсь сам, но не брею других,
чтобы избежать парадоксов.

3
Хочу заметить, что очень хорошо бреют бороды в Покхаре, Непал. А вот в Дарджилинге, Индия, брить бороды не рекомендую. Там парикмахеры работают прямо на узкой улочке, по которой еще и проложена знаменитая действующая узкоколейка. Во время процедуры бритья бороды я чуть было не попал под поезд.

6
Анекдот из древней книги: "Ученый, брадобрей и лысый человек заночевали в одном помещении во время путешествия по Индии. Ночью брадобрей побрил ученого на лысо, за то что он всю ночь храпел. Утром, когда ученого разбудили, он ощупал голову и закричал,
- Вы по ошибке вместо меня разбудили лысого".

10
Нет, полковой парикмахер себя не бреет, так как это женщина :D

1
А мне кажется, изначально не верно, вернее, не полно, - "бреет тех и только тех, кто сам не бреется" - как раз потому, что "Если парикмахер бреется, то, значит, он бреется сам, а ведь таких особей он не бреет. Если парикмахер не бреется, то он бреет себя, потому что он бреет всех, кто сам не бреется". Хи-хи. Соответственно, и парадокса в принципе нет.

11
Раз обещал, значит надо слово держать. :)

АНАЛИЗ ПАРАДОКСА О ПОЛКОВОМ ПАРИКМАХЕРЕ.

Сразу скажу, это не тот случай, когда лингвистическая конструкция не может быть описана с помощью формальной логики. Сейчас мы построим точную модель парадокса.

Теория множеств удивительно красива, и многие её глубокие выводы можно постигнуть, не имея многочисленных специальных знаний. Я буду стараться писать для всех. Нам потребуется два базовых понятия - понятие множества и понятие отображения или функции.

Множества - они как в жизни. Это может быть множество сотрудников фирмы, множество слонов в зоопарке, множество целых чисел и т.п. Множества состоят из своих элементов, и говорят, что эти элементы принадлежат множеству. Множества включают свои подмножества, например, множество сотрудников фирмы включает своё подмножество сотрудниц-женщин.

Пусть заданы два множества X и Y. Отображением f множества X в множество Y называют правило, которое каждому элементу x в множестве X ставит в соответствие единственный элемент y в множестве Y. Если y соответствует x,
то пишут y = f(x).

Например, X - множество учеников 10Б класса, Y - множество действительных чисел, f(x) - рост ученика x.

Пусть X и Y - два множества, f - некоторое отображение множества X в Y. Образом элемента x называется элемент f(x) в множестве Y. Прообразом элемента y называется элемент x в X, для которого f(x) = y. Отметим, что прообраз для некоторых элементов может не существовать. Например, если X и Y - множества действительных чисел, f(x) = x * x, то для у = -1 прообраза не существует.

И последнее, поговорим о множестве всех подмножеств.

Пусть X - семья из двух человек a и b. Тогда множество всех подмножеств X состоит из четырех элементов: {a, b}, {a}, {b}, 0, то есть, множество всех подмножеств содержит X, одноэлементные множества {a} и {b} и еще пустое множество 0, которое, по определению, не содержит никаких элементов, но всегда включается в множество всех подмножеств.

Другой пример, Пусть X - семья из трёх человек a, b и c. Тогда множество всех подмножеств X состоит из восьми элементов: {a, b, c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a}, {b}, {c} и 0, т.е. тройка, все три пары, все три одноэлементных и пустое.


Ну всё, ликбез закончен, переходим к делу.


Пусть X - произвольное множество (возможно бесконечное), Y - множество всех подмножеств X, f - произвольное отображение множества X в множество Y.

Известную ТЕОРЕМУ о мощностях можно сформулировать следующим образом:
существует элемент y в множестве Y, для которого отсутствует прообраз.

Иначе говоря, невозможно построить отображение X в множество Y такое, что f(x) исчерпывают все элементы Y.

Доказательство этого утверждения удивительно элегантно, и, как мы увидим далее, опирается на парадокс о полковом парикмахере. Изложим его, следуя известному учебнику [1], см. Глава 1, подраздел 5, страница 29, теорема 3.

Напомним, что в изучаемой конструкции, для каждого элемента x в X образ f(x) есть подмножество X и, следовательно, может содержать или не содержать x в качестве своего элемента. Пусть M - множество таких x, которые не содержатся в своих образах f(x). Ясно, что M - элемент множества Y. Докажем, что для него нет прообраза.

От противного. Пусть для элемента m множества X выполняется f(m) = M. Предположим, что m принадлежит M. Тогда элемент m содержится в своём образе, а значит, он не может принадлежать M (ведь M составлено из элементов, которые не содержатся в своих образах). Предположим, что m не принадлежит M. Тогда m не принадлежит своему образу, а значит, является элементом множества M. И в первом и во втором случае мы пришли к противоречию. Значит элемента m не существует, и у множества M нет прообраза. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует знаменитый факт о том, что множество всех подмножеств множества X имеет мощность строго большую мощности X. Но об этом как-нибудь в другой раз.

МОДЕЛЬ ПОЛКОВОГО ПАРИКМАХЕРА.

Пусть X - множество всех людей в полку, Y - множество всех подмножеств X, f - отображение X в Y, которое имеет следующий смысл: f(x) - множество тех людей из полка, которых бреет человек x.

Некоторые бреют только себя, для них f(x) = {x} - одноэлементное множество.
Некоторые никого не бреют и сами не бреются, для них f(x) = 0 - пустое множество.
Некоторые бреют какую то кучу народу, для них f(x) содержит несколько элементов.
Если человек бреется сам, то f(x) содержит x.
Если человек не бреется сам, то f(x) не содержит x.

Рассмотрим множество M, состоящее из всех элементов x, для которых f(x) не содержит x.
Множество М - это множество всех людей в полку, которые сами не бреются.

Мы только что видели (см. доказательство теоремы о мощностях), что множество M не имеет прообраза,
то есть, элемента m, для которого f(m) = M. А значит нет парикмахера, который бреет множество M.

РЕЗЮМЕ.

Никакого парадокса нет. Противоречие в парадоксе о полковом парикмахере является доказательством отсутствия объектов с такими свойствами. Если вы скажите, что x - это целое число, которое не делится на 2, но делится на 4, и получите из этого какие-либо противоречия, то это не будет восприниматься парадоксом, поскольку каждый понимает, что такого числа x не бывает.

Ссылки:

1. А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. М., Наука, 1976.

5
"это просто праздник какой-то" (с)

2
Ну так ведь и пост посвящен празднику! :)))

3
За что люблю математику, что гадать и спорить нету смысла: правильность ответа просто-напросто доказывается.

7
Теория множеств удивительно красива, и многие её глубокие выводы можно постигнуть, не имея многочисленных специальных знаний

Вы страшный человек... это я Вам как гуманитарий говорю. :)))

0
Андрей, теория множеств, конечно, все пояснила... Но нужна ли она, чтобы перейти к резюме? Вместо множеств можно было бы рассказать что угодно (хоть про кота шредингера, хоть про Аарона-Бома), а резюме то все-равно верное?

2
Так ведь вопрос спорный. Я узнал об этом парадоксе в какой-то статье, где обсуждалась необходимость перехода в начале 20-го века от "наивной" теории Кантора к аксиоматическим теориям типа Цермело-Френкеля.

Вот и в Википедии пишут, что парадокс о полковом парикмахере является вариантом формулировки парадокса Рассела, преодоление которого привело к построению аксиоматической теории множеств.

А у нас здесь получилось все не так. :)
Парадокс о полковом парикмахере вовсе не противоречит "наивной" канторовской теории.

Тут такое дело, парадокс Рассела указал на изъян "наивной" теории множеств, которая допускала ситуацию, когда множество может содержать себя в качестве своего элемента. В аксиоматических системах типа Цермело-Френкеля такая ситуация стала невозможной.

А мы видим теперь, что при формализации парадокса о полковом парикмахере не возникает множеств, содержащих себя в качестве своего элемента. Поэтому этот парадокс совсем из другой оперы.


0
По существу дела.

Использование в доказательстве (объяснении) понятие _функции_ некорректно, т.к. в определении функции присутствует понятие множества (ну там "... из множества X в множество Y ...").

В том смысле, что если вдруг (наивное) понятие множества противоречиво, то и построенное на его основе понятие функции может оказаться противоречивым. Например с помощью него окажется возможным "решить" некорректную задачу, или какое-нибудь противоречивое свойство найдется у какой-нибудь функции
(например ставящей каждому элементу множества всех множеств, такой элемент, что...)

Про то, как нынче (т.е. на начало XXI века) выглядят основы теории множеств в популярном изложении (т.е. для неспециалистов с математическим образованием), можно прочитать в книге Дж. Кэли "Общая Топология", в Добавлении. Ниже -- ссылка на эту книгу в Сети:

http://www.huminst.ru/lib/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0/%D0%9A%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B8%20%D0%94%D0%B6.%20-%20%D0%9E%D0%91%D0%A9%D0%90%D0%AF%20%D0%A2%D0%9E%D0%9F%D0%9E%D0%9B%D0%9E%D0%93%D0%98%D0%AF.pdf

0
Привет Миша!

Я сегодня подумал вот о чем.
Фразу "парикмахер бреет тех и только тех, кто сам себя не бреет" можно моделировать двояко.
Давай заменим в ней одно слово. Получится: "парикмахер содержит тех и только тех, кто сам себя на содержит". А от этой фразы полшага до парадокса Рассела - "рассмотрим множество, которое в качестве элементов содержит все такие множества, которые сами себя не содержат в качестве своего элемента".

Первый путь - моделировать парикмахера множеством, а отношение "брить" - моделировать как "содержит".
Наверно так моделировал сам Рассел, раз он ходил и всем рассказывал байку про полкового парикмахера.
Такого типа моделирование пришлось запретить, и аксиоматическая теория множеств запретила множествам содержать себя в качестве элемента.

Второй путь - моделировать парикмахера точкой, а отношение "брить" - моделировать как отображение точки в множество. Собственно, эту модель я и предложил. Такая модель оказалась непротиворечивой. В такой модели "брить себя" - это вовсе не содержать себя в качестве своего элемента. В этой модели "брить себя" - это когда множество, которое является образом точки, содержит эту точку. В этом построении уровни иерархии не смешиваются. Оно не противоречит аксиоматической теории множеств.

5
)) класс. Напомнило почему то:
"- На самом деле самого дела нет. В самой деятельности заключена самость дела - и наоборот. Наоборот получим оборот на, и таким образом перевернем образ. … - Конечно, Холмс. Передавайте уже наконец трубку".

4
Тут такое дело. О парадоксе я знал давно. Но вот о связи этого парадокса с доказательством теоремы о мощностях я допер неожиданно и только что, причем совместно с моим старшим сыном Сашей. Поэтому это, всё-таки, маленький результатик и, к тому же, забавный.

Так как математики не смогут читать вышеизложенный пространный текст (там слишком много букв), то для ссылок я публикую удобоваримый для математиков текст. Вот такой:

2
Ладно. Завтра спущусь с гор, поковыряюсь. Вы только до завтра не начните тут теорему Ферма элементарными средствами доказывать.:-)))

3


С Праздником)
Ну вы, блин, сильны...)))

3
Автору поста (то бишь Андрею:) "респект и уважуха". Хорошо написал -- "наука forever!"

Внимание читателей привлеку к формулировке опроса, напоминающей сам парадокс. Например не все варианты ответа противоречат друг другу:)

Это уместно _именно_(только?) при обсуждении парадокса разбиения множеств (ну там типа на бреющихся и бреющих:)!!

По существу дела писать воздержусь. Пока.

6
Из словесной казуистики:
Чем больше учишься,тем больше знаешь,
Чем больше знаешь,тем больше забываешь,
Чем больше забываешь,тем меньше знаешь,
Чем меньше знаешь,тем меньше забываешь,
А чем меньше забываешь,тем больше знаешь.
Так зачем тогда вообще учиться ? :-0.

2
Таким образом, для уровня знаний получается ОДУ первого порядка, с решением вида exp(-gamma*t).

2
А мне показалось, что описано ОДУ 2-го порядка с приличным таким декрементом затухания, но не исключающим небольшие колебания.


7
Если дураки учатся на своих ошибках, а умные - на чужих, то получается, что умные учатся у дураков...

2
В оригинале было - "дураки не учатся даже на своих."

-2
умные на своих, мудрые на чужих, дураки не учатся => мудрые учатся на ошибках умных и дураков, притом из ошибок умных они могут выводов не делать, те сами башкой поработают => мудрые учатся, анализируя тупые ошибки дураков и заимствуя выводы у умных. видимо, надо научиться детектировать, проанализировали ли умные свои ошибки, или нет. тогда можно становиться мудрецом, если дальше учиться не лень. анализ ошибок всех умных делать трудоемко, поэтому можно медленно учиться и усваивать только очевидные случаи. отсюда, как частный случай, правило домашнего мудреца.

задачка: какие из указанных лиц обиделись на мой камент? мне представляется: они - не мудрецы ;)


0
undefined

1
"...От противного. Пусть для элемента m множества X выполняется f(m) = M. Предположим, что m принадлежит M. Тогда элемент m содержится в своём образе, а значит, он не может принадлежать M (ведь M составлено из элементов, которые не содержатся в своих образах). Предположим, что m не принадлежит M. Тогда m не принадлежит своему образу, а значит, является элементом множества M. И в первом и во втором случае мы пришли к противоречию. Значит элемента m не существует, и у множества M нет прообраза. Теорема доказана...."

Спасибо, конечно. Что-то вдруг вспомнил стих, сочинённый мною давным-давно на уроке физики.
(Для пояснения - Сизиков Н.Ф.. это наш учитель труда в школе.)
"У нас сегодня физика.
Похож я на балду.
Зато товарищ Сизиков
Похвалит на труду"

1
Раз уж пошли стихи, да и про теорию множеств упомянули - вспомнилось... Гуманитариям и детям читать строго запрещается!!!
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D1%8F%D0%B4_%D0%A2%D0%B5%D0%B9%D0%BB%D0%BE%D1%80%D0%B0 Это всё - про ряд Тейлора в "Википедии".., а вот как нам его в своё время преподали по "простенькому"

Где-бы член найти нам в пору,
Чтобы вставить в зад Тейлору..?
Оба члена хороши, -
И - Логранжа, и - Коши...

0
В этой статье приведен обалденный пример!


Эта функция бесконечно дифференциируема в точке x = 0, но все её производные в этой точке равны нулю. Поэтому её ряд Тейлора (Маклорена) сходится вовсе не к этой функции, а к константе ноль.

Пример бесконечно дифференциируемой, но не аналитической функции.

5
Вариация на тему "Мыслителя"

0
Вот кстати школьная задачка по кинематике, которую я не мог решить 15ть лет;-) Условие адаптирую к специфике Риска (изначально там были черепашки):

Группа из n (n>2) туристов-лыжников разбрелась по тундре во время тумана. Когда туман рассеялся, выяснилось, что туристы находятся в вершинах правильного n-угольника со стороной a. Обрадовавшись, туристы начали движение что бы соединиться, каждый двигался к своему правому соседу со скоростью v (т.е. вся компания двигалась по часовой стрелке). Через какое время вся группа соберется в одной точке?

0
15 лет или в 15 лет ? :)

t = a / W,

где отношение скорости сближения W к скорости туриста V равно

W/V = 1 - cos(2 * pi / n ).

В частности, для квадрата имеем W = V.
Для треугольника W = 3V/2.


0
Я ее увидел первый раз в 13ть лет, и чего то не асилил. А потом как то к ней не возвращался плотно, пока не принялся обсуждать с кем то из коллег (начали у доски всякие забавные задачки вспоминать) и тут меня осенило;-)

Мне проще было через проекцию на радиус решать, хотя у Вас изящней.


0
А-а-а! Задача-то была найти время, через которое туристы встретятся. Решение у Вас бесспорно изящное, но не окончательное. Как говорят экзаменаторы:"хотите, я поставлю Вам тройку? Или найдите окончательное решение на пятёрку." Очевидно, что надо найти полный путь до точки встречи и это будет спираль.
Ну так что? Троечка или твёрдая пять?:-)))


0
Задачка про туристов в тумане мне напомнила изящную кинематическую задачу, которую я обнаружил в контрольной работе одной студентки МГСУ (я помогал ей по теоретической механике).



Твердые стержни соединены шарнирами. Скорость Va точки А равна 1 м/с.
Найти скорость точки B.

Изящное решение следует из одного понятия, которому в школах не обучают.

0
Va/sqrt(2) вдоль AB? Термех я не то что забыл - я его толком и не знал... ;-(


0
Я всегда знал, что лыжные туристы тупые
Лыжник в гору: "Шалды-балды"...)))

0
В школьной кинематике есть такая проблемка.

Известно (и это легкий результат), что при отсутствии сопротивления воздуха оптимальный (по дальности) угол бросания камня равен 45 градусам. Интуитивно ясно, что оптимальный угол при бросании камня с крыши дома должен быть меньше. Однако в такой постановке задача исключительно сложная, честное аналитическое решение без разложения в ряд Тейлора мне получить не удалось.

Зато задача решается в другой постановке, когда камень кидают на наклонной плоскости.

Итак, для Риска:

Туристы встали на перекус на склоне крутизной A градусов. Ваня оказался ниже Пети строго по линии течения воды. Под каким углом к горизонту Петя должен кинуть в Ваню куском колбасы, чтобы это можно было сделать с минимальной скоростью?

Ответ: Под углом 45 - A/2 градусов.

Попробуйте убедиться в этом. :)

P.S. При бросание в гору, угол A/2 прибавляется. Таким образом, если склон 30-градусный, то оптимальный угол относительно горизонта при бросании под горку равен 45 - 30/2 = 30 градусов, а при бросании в горку 45 + 30/2 = 60 градусов.

1
А вот более изящное решение парадокса брадобрея:

Брадобрей просто не входит в множество "всех, кто не бреется сам", потому что:

1. Брадобрей не бреется, а бреет, иначе всякий, кто бреется, звался бы брадобреем.
2. Брадобрей может побрить свои щёки, шею, подбородок, НО не себя,
т.к. собственное "я" для брадобрея является отвлечённым нематериальным понятием, которое побрить невозможно в принципе.

1
Может формулировка парадокса всё-таки другая:
Полковому парикмахеру ПРИКАЗАНО брить тех и только тех, кто сам не бреется. Как он должен поступить с самим собой?
Парадокса здесь, действительно, нет...просто, следуя формальной логике, приказ не выполним....
Тем не менее такого рода приказы отдаются и даже как-то исполняются ("кто в армии служил, тот в цирке не смеётся")...
Так что, жизнь показывает, что "объекты с такими свойствами" всё-таки существуют ))

Войдите на сайт или зарегистрируйтесь, чтобы оставить комментарий

Страхование экстремальных и активных видов спорта

Выберите вид спорта:
По вопросам рекламы пишите ad@risk.ru