На досуге. К теории Риска. Финишировали!

Пишет Leb, 16.02.2013 23:17

На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

Ох и утомился я тут, комментируя один пост...
Хочется написать и поговорить, о чем-нибудь любимом и приятном. Возможно, на досуге, между экспедициями в горы, мне, наконец, удастся продвинуть на этом сайте теорию о Риске. Иначе, какой же это Риск без теории Риска? :))

Недавно мой старший сын принес на обсуждение за чашечкой чая очередной тульский пряник и
задачку про двух заключенных.
Задача эта парадоксальная, особенно после того, как я поправил в ней некоторые цифры. И она интересна для опроса. Мало ли, как всё сложится...

Поэтому прошу максимально вдумчиво и ответственно проголосовать, прежде чем читать комментарии.
Как говорят, прочувствуйте ситуацию.

Итак, два заключенных сидят в СИЗО, общаться между собой они не могут. Каждый из них знает про такой расклад:

Если оба заключенных будут молчать - обоим сидеть по 1-му месяцу.
Если оба заключенных все расскажут - обоим сидеть по 6 месяцев.
Если один из заключенных будет молчать, а другой всё расскажет - то молчуну впаяют 8 месяцев, а рассказчика немедленно отпустят.

Вот как это выглядит на картинке:
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

В табличках прописаны сроки лишения свободы для каждого из заключенных, при вот таких действиях:

U0 - заключенный U молчит,
U1 - заключенный U говорит,
V0 - заключенный V молчит,
V1 - заключенный V говорит.

Разобравшись в своих предпочтениях, я пригласил на следующий день Сашу на новую чашечку чая с брусничным вареньем и немедленно предложил сыграть.

О том, что из этого получилось, я расскажу позже.

Вот так мы провели первое и пока единственное испытание. А вот как поведет себя население в среднем? Вот, в чем вопрос...

Понятно, что это не простое население, это аудитория Риска, со всеми специфическими особенностями. :)

Итак, каждому в опросе предлагается представить, что он находится в КПЗ, и что в соседней камере сидит знакомый, которому угрожает та же участь, что и вам. Требуется выбрать одно из двух:

"Буду молчать" (U0)
"Всё расскажу" (U1).

Туристы в страшном ледопаде. Они мирно жуют курагу и просчитывают свои риски. Они не подозревают, что к ним уже подкрался неотвратимый ......
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

Ну что, проголосовали?
Тогда дальше...

В тот же день я раскопал парадокс о двух конвертах, который поверг меня в замешательство и надолго выключил из растительной жизни. Отправляясь на работу, Саша поцеловал меня и сказал: "Спасибо, папок, давненько в жизни не было ничего интересного, пойду поразмышляю о двух конвертах".

Парадокс о двух конвертах.

Коля положил в два одинаковых почтовых конверта некоторую сумму денег, причем в один из них ровно в два раза больше, чем в другой. Потом он подбросил монетку и, повинуясь случаю, один из конвертов вручил Васе, а другой Пете.

Вася открыл конверт, пересчитал деньги и подумал так: "У меня в конверте сумма X. Значит, с вероятностью 0.5 в конверте у Пети лежит сумма X/2 и с вероятностью 0.5 он обладает суммой 2X. Выгодно ли мне меняться? Ожидаемый выигрыш от обмена конвертами равен: 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (2X - X) = 0.25 * X > 0. Значит, меняться выгодно!"

Аналогично может рассуждать и Петя. Получается, что меняться выгодно обоим. Но ведь, это же лажа!

О проведенном мною исследовании этого парадокса я расскажу позже, к его правильному восприятию необходима предварительная подготовка.

А ночью мне приснился странный пример, когда одна случайная величина содержит информацию о другой, а та другая не содержит информации о первой. Я сейчас объясню, почему это странно.

Дело в том, что в обычной теории вероятностей отсутствие информации эквивалентно взаимной независимости случайных величин, а значит, ситуация с отсутствием информации симметрична. Действительно, случайная величина X не содержит информации относительно случайной величины Y, если и только если, X и Y независимы, а это, в свою очередь, необходимо и достаточно для того, чтобы случайная величина Y не содержала информации о случайной величине X.

Однако в теории вероятностей взаимное распределение случайных величин X и Y считается известным. Совсем иначе, если мы имеем дело со статистически неопределенной ситуацией.

Вот, какой пример мне приснился:
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

Две бинарные (т.е. принимающие два значения 0 и 1) случайные величины X и Y имеют совместные распределения, которые отражены табличками. Распределений два. Случайная величина X принимает значение 0 с вероятностью 2/3 и значение 1 с вероятностью 1/3 независимо от распределения. А вот случайная величина Y принимает свои значения с вероятностями 2/3 и 1/3 уже в зависимости от распределения. При первом распределении (V=0) более вероятно значение Y=0, а при втором распределении (V=1) более вероятно значение Y=1. Какое из распределений истинно - не известно.

В этом примере случайная величина X содержит информацию о случайной величине Y, но не наоборот, случайная величина Y информации об X не содержит.

"Мама, а розочка бывает больше самолёта?" "Что ты, Вовочка, розы намного меньше самолёта". "Даже если один шанс на миллион?" "Розы всегда меньше самолёта". "А почему папа сказал, что шанс один на миллион, а самолёт опять розочкой накрылся?"
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

Попробую объяснить этот пример.
Но для этого сначала расскажу о рандомизированных стратегиях.

Однажды участник нашего памирского похода меня спросил: "А почему ты в одинаковых ситуациях принимаешь разные решения, то так, то эдак?" В ответ я отшутился: "Это потому, что я использую рандомизированные стратегии". Тогда я осознал, что о рандомизированных стратегиях, увы - мало кто знает...

Рандомизированная стратегия, это когда вы кидаете монетку, чтобы принять решение. Во многих задачах она позволяет получить оптимальный гарантированный результат и подсказывает самый рациональный способ поведения. Когда, еще будучи студентом, я впервые узнал об этом, то это стало революцией в моей голове! Представить, что оптимальное поведение требует инструмента в виде мешочка с костями...
Представить такого я не мог.

Рассмотрим такую задачку:
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

U=0 или U=1 - это два варианта вашего решения. Y=0 или Y=1 - это два возможных значения неизвестной вам величины. Это могут быть непредсказуемые действия другого человека или какой либо иной параметр, который, если и можно считать случайным, то о его распределении, всё равно, ничего не известно. А в табличке проставлены суммы денег, которые вы можете выиграть или проиграть.

Как бы вы себя не вели, от проигрыша, всё равно, не застрахованы. Если выберете U=0, то можете проиграть 700 рублей. А если выберете U=1, то можете проиграть 1700. При равных выигрышах решение U=0 безобиднее, поэтому и выглядит предпочтительнее.

Однако существует способ извлечь из этой ситуации положительный в среднем выигрыш! Иначе говоря, при многочисленных повторениях этой игры вы начнете обогощаться, как бы не вела себя величина Y. Единственно, что не разрешается в этой задачке, чтобы Y "подсматривала ваши решения" и уже после каждого вашего выбора нагло подсовывала вам проигрыш. :)

Давайте принимать решение U=0 с вероятностью P и решение U=1 с вероятностью 1 - P. Тогда при Y=0 ваш ожидаемый выигрыш равен:

Q = -700 * P + 1300 * (1-P) = 1300 - 2000 * P.

А при Y=1 ожидаемый выигрыш равен:

Q = 1300 * P - 1700 * (1-P) = 3000 * P - 1700.

Первый выигрыш падает с ростом P, а второй растет.
На досуге. К теории Риска. Финишировали! (Альпинизм, принятие решений)

Вычислим P, при котором эти выигрыши уравниваются. Легко убедиться, что равенству соответствует P = 3/5 = 0.6 . При такой вероятности, в обоих случаях, независимо от значения Y, ожидаемые выигрыши равны 100 руб. > 0. Стоит, хоть немного отклониться от этой вероятности, как вы рискуете получить ожидаемый выигрыш меньше 100 рублей или даже реально проиграть.

Вот так.
Кидайте монетку, господа!

Это и есть рандомизированная стратегия.

Вы можете себе представить, что наилучший ледоруб состоит из двух ледорубов? Наклейка одна: BD-22, а ледорубов два, и разной конструкции. Один вам приносят со склада с вероятностью 0.6, а другой с вероятностью 0.4 :))))

Продолжение следует...

Обсуждение парадоксов, расчеты и результаты голосования оформлены в отдельной статье на моей личной ленте вот ЗДЕСЬ:

1. А. Лебедев. Анализы парадокса о двух конвертах и задачи о двух заключенных.

188


Комментарии:
4
:))

2
Сотри комментарий. :)

3
1) Меньше болтаешь,дольше живёшь (житейская мудрость).

1
Голосоавать не буду - лень считать на ночь глядя, но мозги немного размял пока барахло из машины вынимал после поездки.

2
Отлично замутил, Андрюша!
Вот опилки в голове чуть подсохнут ---постараюсь вникнуть :--)))

1
Молчи. Будь хитрым.)

3
С точки зрения теории вероятности, выгоднее настучать. Но за это бьют по морде =)

1
Хорошая методика раскрытия преступлений, наверное. Заключенные пытаются узнать о выборе друг друга, а если не пытаются то мы им естественно намекаем. Причем естественно же намекаем на то, что второй уже заговорил. Можно одному намекнуть, можно двум, смотря по ситуации. Как же иначе! Раскрываемость нужно повышать.

1
К "парадоксу конвертов".
Что за единица измерения такая: вероятность умноженная на рубль – математическая или физическая? :)

1
Физическая, конечно. Имеет размерность рубль. :)

2
Предположим, я выполнил работу для ненадёжного заказчика на N рублей. Вероятность появления суммы N в моём кошельке 0,5, то есть, в реальности кошелёк будет либо пуст, либо в нём будет N рублей. Но независимо от результата проплаты заказчиком, в моём кошельке будет присутствовать виртуальная сумма 0,5* N вероятностных рублей.
Парадокс конвертов раскрыт. Он обусловлен стиранием границ между виртуальностью и реальностью :)


4
После появления Интернета трудно удержаться от того, чтобы, чуть подумав над задачей, не удержаться и залезть в «гугл» в поисках ответа. В Википедии подробно написано о «дилемме заключенного» и «двух конвертах».
В голосовалке не принимал участие, т.к. не хватает исходных данных. Если заключенный №1 чувствует симпатию, сострадание, испытывает уверенность в заключенном №2, то он, скорее всего, промолчит. А если испытывает недоверие, то заложит.

1
Не всё так просто. В Википедии дано неправильное объяснение парадокса о двух конвертах, по-существу, отмазка. Вероятности подсчитаны неправильно. Мне пришлось их пересчитать, да еще проверить свои формулы статистическим моделированием. Ссылка в Википедии на неравномерность распределения ничего не объясняет, так как положительный выигрыш достигается и при неравномерных распределениях.

0
О "парадоксе конвертов"
Выйграть можно только изначально обладая меньшей суммой чем у товарища (т.е. 1/2Х), следовательно вместо 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (2X - X) = 0.25 * X, надо писать 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (X - Х/2) = 0 * X, и иллюзия исчезает..
А задача такая интересная получилась:)

0
Парадокса это пока не объясняет. Ведь Вася считает условное ожидание выигрыша, при условии наблюдения величины X в своём конверте. А вы во второй скобке пишите X/2, т.е. считаете безусловное. Надо теперь объяснить, почему условное ожидание "не работает".

0
Все работает: и Вася и Петя в, любом случае, выигрывают в 2 раза больше, чем проигрывают.
Если бы выигрыш/проигрыш был бы не во сколько-то раз, а на сколько-то рублей, оптимальным решением было бы не меняться, но, когда в два раза - появляется смысл.
Рассмотрим такой пример: в конверте у меня 10 рублей, а у Васи может быть в 1000 раз больше. Если мне повезет, то я получу каккие-то деньги, а если нет - бог с ними с 10 рублями.
Правда, в этом случае, Вася должен тоже абстрагироваться от уровня своих доходов и доходов подарившего конверт, иначе он быстро придет к выводу, что меняться не стоит.
Этот парадокс имеет место быть только в том случае, когда речь идет о суммах не значительных для играющих, когда же речь пойдет о больших суммах (дарящий - миллионер), и Вася и Петя будут бояться проиграть больше, чем выиграть, а ваша формула этого не учитывает, она чисто математическая. :)


2
"Допустим, я взял у друга 100 рублей, пошел в магазин и потерял их, встретил подругу, взял у неё 50 рублей, купил две шоколадки по 10, у меня осталось 30 рублей, я их отдал другу и остался должен 70, и подруге 50, итого 120, плюс у меня две шоколадки, итого 140! Где 10 рублей???"

1
Классная формулировочка.
А ведь поначалу мозг сводит. :))

2
А если ещё представить себя директором фирмы, а суммы представить не в рублях, а лимонах баксов... И что делать с бухгалтером, который нагрузил фирму кредитами на 120 лимонов загрузив склад шоколадом всего на двадцать? И куда дел ещё 10?:-)))
Вот к чему приводит не знание бухгалтерии и не корректная постановка задачи. Доходы и расходы можно складывать только по-отдельности. Доход - 100 р. у друга + 50 р. у подруги = 150 р. Расход - 100 р. пропил(ладно, потерял) + 30 р. отдал другу + 20 р. шоколадки = 150 р.
Сальдо: 0.00 р.:-)

1
Лучше купите шоколадки по 20 рублей. У Вас останется еще 30 рублей лишних... ;-)
(Это в струю замечания №2 в моем посте ниже, которое является общим.)

0
Парадокс кинетической энергии. Это должны знать все школьники и студенты!

Игрушечная машинка с заводным ключиком массой m=2 кг развивает скорость V=1 м/c. Большая машинка? Ну да ладно, так легче считать.

Её кинетическая энергия равна m*V*V/2 = 1 джоуль. Ясно, что эта энергия запасается в пружине, а потом переходит в кинетическую энергию машинки.

Мальчик запустил машинку в поезде, который движется со скоростью 10 м/c.
Относительно земли машинка имела до старта скорость 10 м/c, а после своего жужжащего разгона - скорость 11 м/c.

Её кинетическая энергия возросла от 100 джоулей до 121 джоуля.

Откуда взялись лишние 20 джоулей? :))

0
> Откуда взялись лишние 20 джоулей?
1. Из поезда.

2. Если взятая модель противоречит реальной действительности, значит она выбрана неправильно и необходимо искать другую модель.

3. А "поначалу" (в заметке выше) пишется слитно.

0
1). Это правильно. Если в поезде есть автоматический стабилизатор скорости, то представляете, как сильно изменяется энергопотребление, он нашего хождения по вагонам? Если один человек массой 80 км набирает скорость 3.6 км/час в вагоне электрички, которая движется со скоростью 90 км/час, то компенсация этого импульса потребует от двигателя 2000 джоулей.

2). Принцип относительности в механике утверждает, что все механические процессы протекают одинаково в любой инерциальной системе отсчета. Поэтому школьник должен уметь работать в любой системе координат.

3). Спасибо, исправил :)


1
Откуда взялись лишние 20 джоулей? :))
*****

считать надо вместе, машинку и поезд.
Общая энергия системы не изменилась

Разгоняясь, отталкиваясь от поезда машинка притормозила поезд и его энергия уменьшилась на эти 20 джоулей.

1
Ну да, я так и ответил. Но человек не верит.
Тогда я задал ему аналогичную задачку уже без поезда.
Чтобы уж совсем... :)))

Вот про поезд еще. Если машинка разгоняется до 1 м/с за 2 секунды, то она воздействует на поверхность с силой 1 ньютон (2 кг * 0.5 м/c*c = 1 н). За 2 секунды поезд проезжает 20 метров. Работа машинки по торможению поезда равна F * S = 1 н * 20 м = 20 джоулей.

Опять все те же 20 джоулей!

А мощность 10 ватт !!! Ха-ха-ха!

Ну а если в постановке без поезда. Нет никакого поезда. Есть инерциальная система отсчета, которая движется навстречу игрушке со скоростью 10 м/c.

До запуска, скорость игрушки в этой системе отсчета равна 10 м/c
После отработки пружины (а машинка просто проехалась по асфальту) скорость машинки в этой системе отсчета 11 м/c

Разность кинетических энергий 121 - 100 = 21 джоуль.
Откуда взялись лишних 20 джоулей?

0
От двигателя поезда :-) ! Поезд работал против силы инерции машинки, но он этого не заметил, тк мощность двигателя поезда бесконечна (негласное допущение этой задачки)

0
Точнее, поезд работал не против силы инерции машинки, а против силы, с которой машинка отталкивалась от пола вагона (это сила трения между колесом машинки и полом).

Вон выше расчет этой силы и работы поезда. Как раз 20 джоулей.


1
Мавроди отдыхает.Пора и в консерватории подправить.

1
Вот еще отличная байка (длинно, копировать не буду). Про финансовую систему. http://www.avanturist.org/blog/post/28

2
Насчет рандомизированных стратегий - в рассказах С.Лема про пилота Пиркса сказано "Если не знаешь, что делать, не делай ничего".

2
Насчет рандомизированных стратегий - в рассказах С.Лема про пилота Пиркса сказано "Если не знаешь, что делать, не делай ничего".
*****

Есть другой вариант- не знаешь, что делать- действуй по плану

6
+++Есть другой вариант- не знаешь, что делать- действуй по плану+++

"После просмотрa пaртиотического фильмa учитель спрaшивaет у детей, кому кто понрaвился. Одному подвиг солдaтa, другому - кaк сaнитaркa рaненого спaслa. А Вовочкa говорит:
- А мне больше всего понрaвился нaркомaн.
- Кaкой тaкой нaркомaн. Тaм не было нaркомaнов.
- Был, он все время зaтягивaлся и говорил: "Хороший у вaс плaн, товaрищ Жуков!"

5
Каковы шансы встретить живого динозавра?
Мужчины бросились в вычисления- один щанс на миллиард или триллион...
Женщины сказали "50%- либо встречу, либо нет" :) (старый бородатый анекдот.)

6
Чтобы голова не пухла - для разрядки:

" Мужик с убитым видом пришел в мaгaзин. Спрaшивaет (грустно):
- Дaйте мне мыло и веревку...
Продaвщицa:
- Вешaтся, что-ли собрaлся?
Он (язвительно):
- Нет, б_я, счaс помоюсь вот - и в горы..."

"Два альпиниста наконец-то вылезли на вершину Эвереста. И один, вытирая пот с лица, спрашивает другого:
– Ну как, у тебя получилось с тем обменом квартиры?
– Да я чё псих — пятый этаж без лифта?!"

1
Меняться выгодно: повезет - выйграешь рубль, не повезет - проиграешь 50 копеек. В казино например проигрываешь весь рубль, еще и вероятность не меньше 50%, а люди играют.

1
Если таблички про заключенных наложить одна на другую, то получится:
совместные потери: молчать - 2; 8, говорить - 8; 12, то есть выгоднее молчать.

0
Сомнительно, что Коля будет совать в конверт копейки. Значит если Вася увидел четную сумму - ему меняться не выгодно. Если нечетную - выгодно, но нет гарантии на 100%.

0
Задачка про заключенных покажет, как аудитория риска думает - командно или индивидуалистически.
Надо напарнику перед восхождением давать такие задачи :)

0
Надо напарнику перед восхождением давать такие задачи :)
****

Я бы пошел только с таким, который даст определенный ответ.
Других- нах :)

8
Наша жизнь полна Парадоксов !!! Например, как это понимать – в месяц зарплата рядового сотрудника ГИБДД составляет три тысячи рублей, а в день четыре?!!

3
А про рабочие места с отрицательной зарплатой слышал?

4
А про рабочие места с отрицательной зарплатой слышал?
*****

Я не слышал.Интересно, где?

Зато недавно впервые услышал про откат в 100% от стоимости работ, по конкретному объекту.
Растем понемногу :)


0
Есть ощущение, что в задаче о заключенных не хватает важного указания-волнует ли их вообще судьба друг друга.

0
Предположим, что чужая судьба не волнует. Это что-то меняет?

0
Какое решение вы примете в задачке о заключенных?
Это на риске звучит как "останетесь вы членом команды, или поступите, как сейчас модно" (модно, например, на зимне-весенних коммерческих и прочих интернетно-случайных восхождениях на Эль).
Тенденция настораживает. Среди посетителей риска целая толпа "вот этих вот": U1 (всё расскажу) 16.28% (14)

0
Я смеха ради ввел, все писали, что смолчат :)

1
Портишь статистику? :/


2
АНАЛИЗ ПАРАДОКСА О ДВУХ КОНВЕРТАХ.

Как рассуждает Вася?
Он рассчитывает ожидаемый выигрыш от обмена конвертами. Такое среднее в теории вероятностей называется математическим ожиданием выигрыша.

Какая интерпретация полученной величины?
Интерпретация достигается мысленным погружением в гипотетический ансамбль повторяющихся ситуаций.

Например, если вы обладаете лотерейным билетом, который выигрывает 100 рублей с вероятностью 0.5, математическое ожидание выигрыша равно 0 руб. * 0.5 + 100 руб. * 0.5 = 50 руб. При многочисленных играх с билетом такого номинала вы получите примерно N* 50 руб., где N - число игр, причем, чем больше игр, тем меньше относительная ошибка в прогнозе дохода. Если N - миллион, то ваш доход будет отличаться от 50-ти миллионов рублей менее, чем на 0.3 процента (0.003) с вероятностью 0.997.

Вот и Вася мысленно погружается в гипотетический ансамбль повторяющихся ситуаций с обменом конвертами.
Но каков источник случайности в этих будущих его играх? Судя по тому, как он ведет расчет, единственным источником случайности он считает монетку, которую подбрасывает Коля. А количество денег в конверте X, он не усредняет по какому-либо распределению вероятностей и считает его, как бы, фиксированным.

Однако величина X Васе заранее неизвестна, как и все её будущие значения. Такое частичное осреднение, которое произвел Вася, при фиксированном X, в теории вероятностей называется условным математическим ожиданием, "математическое ожидание при условии, что величина X принимает наблюдаемое значение".

Является ли условный ожидаемый доход критерием рационального выбора?

Да, если мы имеем дело со статистически определенной ситуацией, т.е., когда вероятности всех фигурирующих в модели событий заранее известны.

В этом случае безусловное математическое ожидание выигрыша равно условному ожиданию, усредненному по распределению случайной величины X. Поэтому, если условное ожидание выигрыша при каждом фиксированном X максимально, то максимальным будет и безусловное ожидаемое значение выигрыша.

Может быть на это рассчитывал Вася?
Но тогда он неправильно посчитал свой выигрыш. Он не учел распределения величины X.

А без этого нельзя. Предположим, что используемый Колей капитал не превосходит 300 рублей. К примеру, пусть сумма денег в обоих конвертах Z распределена равномерно от 0 до 300 рублей. Тогда, если Вася увидел в своём конверте 110 рублей, он уже не должен меняться. Ведь у Пети может быть только 55, но никак не 220 рублей (110 + 220 > 300).

А между тем Васин расчет показывает положительный условный выигрыш при любом значении X, и при любом распределении этой случайной величины.

Чему же соответствует Васин расчет? Какому гипотетическому ансамблю?

А вот какому. Васе постоянно кладут в конверт 100 рублей, а Коля с вероятностью 0.5 кладет в конверт Пети то 50, то 200 рублей. Но это несимметричная ситуация, и никакого парадокса нет. Васе каждый раз выгодно меняться, а Пете нет.

100 рублей - это к примеру. Речь может идти о 200 рублей или иной сумме, но, главное, что эта сумма в гипотетическом ансамбле повторяющихся ситуаций остаётся фиксированной.

Однако это не интересный случай.

Исследуем задачу при некоторых стандартных распределениях суммы денег Z в двух конвертах.
Оказывается, что парадокс в некотором смысле сохраняется, и обоим игрокам при определенных ограничениях выгодно меняться. В Википедии ничего не говорится о возможности такой ситуации.

Итак, пусть сумма денег Z, которую Коля тратит на эксперимент, случайна и имеет функцию распределения F(z). Пусть независимая от Z бинарная случайная величина T принимает значения 0 или 1 с вероятностями 0.5 и отражает, кому досталась меньшая часть денег, т.е. Z/3: если Васе, то T = 0, если Пете, то T=1.

Пусть X - сумма в конверте Васи. Найдем функцию G(x) распределения случайной величины X.

G(x) = P{ X < x } = P{ X < x, T = 0} + P{ X < x, T = 1} = P{ Z/3 < x, T = 0} + P{ 2Z/3 < x, T = 1} = P{ Z < 3x, T = 0} + P{ Z < 3x/2, T = 1} = 0.5 * F(3x) + 0.5 * F(3x/2).

Дифференциируя функцию распределения, найдем плотность распределения случайной величины X.

g(x) = 1.5 * f(3x) + 0.75 * f(3x/2),

где f(z) - плотность распределения случайной величины Z.

По формуле Байеса найдем условные вероятность (при условии X), что к Васе пришла меньшая сумма денег Z/3 или большая сумма денег 2Z/3.

P{ T = 0 | X } = f(3X) / [ f(3X) + 0.5*f(3X/2) ]

P{ T = 1 | X } = 0.5* f(3X/2) / [ f(3X) + 0.5*f(3X/2) ]


Как видно, эти вероятности вовсе не равны 0.5.

Условное математическое ожидание выигрыша Васи при обмене равно

Q(X) = X * P{ T = 0 | X } - 0.5 * X * P{ T = 1 | X } = X * [ f(3X) - 0.25*f(3X/2) ] / [ f(3X) + 0.5*f(3X/2) ].

Условный ожидаемый выигрыш положительный, если и только если 4 * f(3X) > f(3X/2).

Оптимальная стратегия Васи:

!!!!! Меняться, если 4 * f(3Х) > f(3X/2),
!!!!! Не меняться, если 4 * f(3Х) = H/3 = 100 руб.

Ожидаемый выигрыш при этом равен H/16 = 18.75 руб.

2) Пусть Z - распределена экспоненциально с математическим ожиданием S = 150 руб.

И для этого распределения нетрудно посчитать, что
оптимальная стратегия Васи:

!!!!! Меняться, если X < 2S * ln(4) / 3 = 138.6 руб.,
!!!!! Не меняться, если X >= 2S * ln(4) / 3 = 138.6 руб.

Ожидаемый выигрыш при этом равен S(1 + 2ln(4) / 3) / 32 = 9.02 руб.

Но ведь и у Пети тоже самое! Парадокс сохранился?

Вовсе нет. :)

Оптимальная стратегия Васи действительно оптимальна, если Петя ему не противодействует и соглашается на все обмены, которые ему предлагает Вася.

При такой пассивной со стороны Пети игре Вася действительно выигрывает с каждым обменом в среднем по 18.75 руб. при равномерном распределении и по 9.02 руб. при экспоненциальном.

И эти числа подтвердились на компьютере методом Монте-Карло!

И Петя посчитает для себя такой же положительный ожидаемый выигрыш. И этот расчет тоже будет справедлив только при пассивной игре Васи.

А что же получится при активной игре обоих игроков?

Часть выгодных для Васи обменов забракует Петя, потому что по его оптимальному критерию некоторые предложенные Васей обмены будут невыгодными. С другой стороны, часть выгодных для Пети обменов забракует Вася. В итоге, выигрыш каждого будет равен нулю. И это тоже подтверждено на компьютере методом Монте Карло.

Вот такое получилось интересное исследование.

Там обнаружилась еще одна интересная игровая деталь.
Но об этом, если и расскажу, то в другой раз.

0
От математической модели процесса перейдём к физической, выбрав систему отсчёта, привязанную к столу, на котором лежат конверты.
После вручения конвертов вероятность обладания большей суммой денег для Пети и Васи равна по 0,5. Это статус кво возвращается после каждого обмена конвертами. Потому что на двух людей есть два конверта.

2
Если Вася посмотрел свой конверт и увидел, что у него там 200 рублей, и он знает, что Коле родители на завтрак более трехсот не дают, то меняться Васе не выгодно.

Это совершенно реальная вещь - влияние информации.
И совершенно реально у меня на компьютере Вася обыгрывает Петю, если Петя не сопротивляется.

Я же не формулы на компьютере считаю, я моделирую случайные числа, рассовываю из по конвертам, потом их вскрываю, Вася и Петя принимают решения и т.п. Это моделирование методом статистических испытаний или методом Монте Карло.

И все формулы таким способом проверяются.
Всё работает.


0
Вот дела! Только сейчас заметил.
Рисковский редактор начинает глючить после символа "больше или равно" и выбросил часть текста из анализа парадокса. Пришлось изменить нестрогие неравенства на строгие. Исправить коммент уже невозможно. Поэтому для полноты картины вношу исправления здесь:

////////////////////////////////////
Условный ожидаемый выигрыш положительный, если и только если 4 * f(3X) > f(3X/2).

Оптимальная стратегия Васи:

!!!! Меняться, если 4 * f(3Х) > f(3X/2),
!!!! Не меняться, если 4 * f(3Х) < f(3X/2).

Рассмотрим два примера:

1) Пусть Z - равномерно распределена в интервале от 0 до H = 300 руб.

Для такого распределения нетрудно посчитать, что
оптимальная стратегия Васи:

!!!! Меняться, если X < H/3 = 100 руб.,
!!!! Не меняться, если X > H/3 = 100 руб.

Ожидаемый выигрыш при этом равен H/16 = 18.75 руб.

2) Пусть Z - распределена экспоненциально с математическим ожиданием S = 150 руб.

И для этого распределения нетрудно посчитать, что
оптимальная стратегия Васи:

!!!! Меняться, если X < 2S * ln(4) / 3 = 138.6 руб.,
!!!! Не меняться, если X > 2S * ln(4) / 3 = 138.6 руб.

Ожидаемый выигрыш при этом равен S(1 + 2ln(4) / 3) / 32 = 9.02 руб.

Но ведь и у Пети тоже самое! Парадокс сохранился?

////////////////////////////////////////////////

Вот этот кусок должен стоять вместо аналогичного, но ущербного (с потерей нескольких строк) куска в тексте анализа.

0
Обалдеть ты тут понаписал, Васю на самом деле Сергей Мавроди зовут :)
Проще всё, мне кажется.
Есть такая теорема:
Теорема о сложении вероятностей 1. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме
вероятностей этих событий.
(A+B)= P(A)+P(B) , в нашем случае 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (2X - X) = 0.5X-0.25X=0.25X Ты подсчитал по этой формуле,

а есть вот такая теорема:
Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле
P(A+B)= P(A)+P(B)-P(AB) и в нашем случае получается 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (2X - X)= 0.5X-0.25X-Х=-0.75X
Вот это похоже на правду.

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. Классический пример - орёл или решка. одновременно выпасть они не могут.


Непонятно как по такому определению классифицировать совместные эти события или нет, но результат второй формулы ближе к природе это точно.

Хочется сказать что события эти совместны и значит пользуйся второй теоремой, и всё будет хорошо.
вот например априори, выгоду получит Вася, и получит Петя, совершенно независимо, но одновременно. С точки зрения стороннего наблюдателя события как бы совместны, могут перемножаться и пользуемся второй формулой.
Или если Коля шутник, и положил сумму Х=0 в конверт, значит вероятность получения выгоды от обмена независимо от первоначального расклада на самом деле ноль 0.5*0=0 и опять хочется перейти к тому что значит события эти совместны...

С другой стороны, казалось бы, независимые события это наш случай, ибо выгоду от Васи и выгоду от Пети вообще невозможно получить одновременно одному из них, без бандитизма если :)

Я, тем не менее, буду молчать, и меняться буду :)

1
Привет, Малыш!
Ты только к формулам не придирайся. :)
Так как анализировался парадокс, то я особо тщательно проверял все выкладки и даже не умом, а методом Монте-Карло. Вот все эти доходы в рублях, что я понаписал - всё это реализуется с точностью до 3-го знака (включительно) после 100 миллионов обменов. Вон в третьей строчке q0 - средний доход от одного обмена для Васи. По теории должен быть 18.75

Это было для равномерного распределения Z.
А вот для экспоненциального:

Теоретический доход Васи - см. в первой строчке Q.
Реализованный средний доход от одного обмена после 100 миллионов испытаний - см. в третьей строчке q0.

1
Ну что, пора заканчивать с заключенными?
Или еще статистику пособираем?

1
нет рано еще
заключенный доложен кинуть монетку

0
Пока идет голосование, я написал программку, чтобы посчитать:

1) сколько "рассказчиков" на Риске завалило друг друга на 6 месяцев.
2) сколько "рассказчиков" на Риске завалило "молчунов" на 8 месяцев и, тем самым, выкрутились.
3) сколько "молчунов" на Риске отделались одним месяцем.

:))

1
У меня получилось два уравнения "выигрышей" заключенного U. P - вероятность заключенного U промолчать.
Q1 = P (если V - молчит)
Q2 = 2*P+6 (если V - говорит)

Эти линии не пересекаются и оптимальной стратегии тут нет.
Наиболее близкой к оптимальной будет стратегия "все рассказать".

2
.

Я без всяких расчетов знаю- все зависит от личностей.
Склонный к риску и азартным играм поменяется, несклонный- ни за что, будет рад тому, что есть.

Аналоговое мышление эффективней:)

1
Анализ задачи о двух заключенных.

Эта задача классифицируется, как игра с непротивоположными интересами. К сожалению, я не много смогу о ней рассказать. В эту область науки я не углублялся.

Литература:

1. Ю.Б. Гермейер. Игры с непротивоположными интересами. Москва, Наука, 1976.
2. Игры с непротивоположными интересами: учеб. пособие. Сост. Р.Ф. Хабибуллин – Казань: Казан. гос. ун-т, 2009.

Первая книжка - серьезная монография.
Вторая - простенькое пособие для студентов с обзором основных постановок.

Ну что я могу сказать? Дурная задача, и в этих книжках ничего толком о ней не сказано.

1) Обращаю внимание на то, что стратегия U1 ("рассказать") доминирует стратегию U0 ("промолчать"). Доминирует - это значит, что при каждом фиксированном неизвестном значении V1 или V2 стратегия U1 лучше, чем U0, действительно: 0 < 1 и 6 < 8.

Аналогично для второго игрока стратегия V1 доминирует стратегию V0.

2) Кроме того, пара (U1, V1) находится в ситуации равновесия - это когда обоим игрокам невыгодно по одиночке отступать от своих стратегий. Иначе говоря, замена (U1, V1) на (U0, V1) ухудшает результат для первого игрока, а замена (U1, V1) на (U1, V0) ухудшает результат для второго игрока.

В этом смысле стратегии U1 и V1 - вполне рациональны.
Но такой результат противоречит здравому смыслу.

Из учебника [2]:

"... всё говорит о том, что наилучшими стратегиями игроков в этой игре являются их гарантирующие, равновесные стратегии признания, и игроки выберут именно их. А решением этой игры будет исход, когда оба игрока признаются. Однако ведь существует исход , когда оба не признаются. Этот исход значительно более выгоден игрокам и может рассматриваться как самый лучший исход для игроков в данной игре с точки зрения здравого смысла. Но никакие формальные соображения нас к нему не приводят.

Этот пример показывает, что справедливо следующее утверждение: ситуация равновесия, которая является центральным понятием в теории антагонистических игр, может не соответствовать представлению о справедливом решении игры и оптимальном поведении игроков в неантагонистических играх, т.е. ситуация равновесия в играх с непротивоположными интересами может не являться оптимальным исходом с точки зрения здравого смысла, а равновесные стратегии могут не быть наилучшими стратегиями для игроков.

Итак, в некооперативном варианте игры положение безнадежно. Все указывает на то, что игроки выберут свои вторые стратегии (стратегии признания)..."


Дурная игра. Наилучший исход очевиден, а прийти к нему невозможно.

Далее Хабибуллин обсуждает возможность договориться. Однако договор между игроками принять пару (U0, V0) лишь провоцирует обмануть и выкрутиться, и ничего не гарантирует.

Как же прийти к паре (U0, V0) рационально?

Когда я играл с Сашей, я размышлял так.

Буду уважать второго заключенного. Буду считать его столь же умным, как и я. Поэтому, если я найду оптимальное решение, то и он найдет его. А значит мы придем к одной и той же стратегии. Останутся только два варианта (U0, V0) и (U1, V1). В первом варианте нам сидеть по 1 месяцу, а во втором - по 6 месяцев. Итак, выбираю U0.

Саша тоже выбрал U0.

После написания текста по анализу парадокса о двух конвертах, у меня возникла еще и такая мысль.

А что будет, если погрузиться в гипотетический ансабль повторяющихся ситуаций? Предположим, что память о предыдущих выборах сохранилась. Тогда, если я выберу U1, то никакие будущие игроки уже не согласятся на V0. И я буду до конца своих дней получать по шесть месяцев.

С другой стороны. Если я выберу U0, то приглашу будущих игроков к союзничеству. Конечно, некоторые воспользуются этим, чтобы за счет меня вылезти сухими из воды. Но многие согласятся на союз, и в среднем, я могу рассчитывать менее, чем на 6 месяцев.

А теперь, итоги голосования!

К 13.40 18.02.2013 проголосовало 115 человек + я (для четности). 96 человека выбрали U0 и 20 человек выбрали U1.

Компьютерная случайная разбивка на пары дала такой результат:

4 "рассказчика" завалили друг друга и получили по 6 месяцев.
16 "рассказчиков" посадили 16 "молчунов" на 8 месяцев, а сами выкрутились.
80 "молчунов" нашли друг друга и отсидели по месяцу.

0
Я согласен с Kuzmin,
Все-таки эта "дилема заключенного" это классический пример тогда, когда между участниками в подобной ситуации не происходит никакого обмена информации, они принимают решение не кооперироваться, и максимальная суммарная выгода не достигается. А если включать какие-то дополнительные гипотетические последствия типо уважения других или мести, то это уже совсем другая история, и в таком случае эти выгода должна быть как-то оценена "в месяцах" и включены в таблицу с условиями.
Кстати, фильм "Игры разума", как раз о том самом математике Джоне Нэше, который исследовал подобные ситуации, там есть немного на эту тему:)

0
Молчуны мне очень симпатичны, но подвергаю сомнению вот это:
"В этом смысле стратегии U1 и V1 - вполне рациональны.
Но такой результат противоречит здравому смыслу."

Мне кажется,что здравый смысл вместе отсидеть по месяцу становится здравым только в случае, если заключенных волнует судьба друг друга. Если каждого волнует только он сам, то они выберут U1 V1. К сожалению...

2
Задача о 2 конвертах:

Выгоднее всего иметь такого Колю, который бесконечно кладёт в конверты,
в конце концов это можно потом просто поделить побратски.

Задача о заключённых:

Если это математическая задача, то она сводится к поиску минимума ущерба, который измеряется отсидкой одного чела,
который и принимает решение, а тут всяк выгоднее отсидеть 6, вместо 8 и 0 вместо 1.

Если это задача из жизни, то здравый как раз смысл подсказывает, что ущерб тут может лечь совсем не в области дней отсидки,
а об этом в условии задачи ничего не сказано.

Больше всего понравились розы!

1
Да. Но больше всего понравился Коля!

1
Дааа, ЧУМА! Розы действительно красивые!

1
Любишь розы?

0
обмен конвертов = приобретению, даже теряя 50% суммы, получаешь информацию

0
В том то и дело, что информация неоднозначная. Либо узнаешь что ты - хитрец, либо что ты - лох!:-)

0
ну по поводу голосования:В 1950 году Мелвин Дрешер и Мерил Флуд открыли дилемму узника. Вот ее суть: двое подозреваемых арестованы перед входом в банк и заключены в одиночные камеры. Для того чтобы побудить их признаться в намерении ограбить банк, полиция делает им следующее предложение: если оба будут молчать, они будут приговорены каждый к двум годам тюрьмы. Если один обвинит другого, а тот так и не заговорит, предатель будет освобожден, а хранящий молчание получит пять лет тюрьмы. Если оба подозреваемых обвинят друг друга, каждый будет осужден на четыре года тюрьмы. При этом сообщники знают о том, что такое предложение сделано им обоим. Что же происходит? Оба арестованных думают: «Я уверен в том, что другой расколется. Он обвинит меня, мне дадут пять лет, а его освободят, и это будет уже слишком несправедливо». Затем обоим в голову приходит такая мысль: «Если я на него донесу, меня освободят, зачем же страдать обоим, когда один может избежать наказания». Короче говоря, в такой ситуации большинство испытуемых доносят друг на друга. Поскольку второй сообщник рассуждает точно так же, как первый, оба получают по четыре года лишения свободы. А если бы они оба промолчали, то оказались бы в тюрьме всего на два года.
И еще более странная закономерность: если проводить эксперимент, разрешая обоим подозреваемым свободно общаться между собой, результат остается таким же. Оба человека, даже выработав совместную стратегию поведения, в конце концов совершают предательство. Проблема заключается в том, что люди не способны полностью доверять друг другу. все говорит о том, что надо говорить...
Однако, статистика на риске говорит о том, что выгоднее молчать... Видимо сказывается некая специфика или правила "цеха" как-то так...

0
В 1950 году Мелвин Дрешер и Мерил Флуд открыли дилемму узника.
*****

Интересно, что значит, открыли?
"Открыли" в контексте вполне бессмысленое слово.

Толи они предположили, что так будет.
Толи им об этом кто то рассказал.

толи они провесли исследование среди заключеных-
абсолютно непонятно.

И по ссылкам Дрешер-Флуд тоже неясно.
Как же это они "открыли"

Может, взяли много пива, посидели до упора- и -" открыли" ?
Тот, кто напился сильней, пробормотал, тот, кто был трезвей- записал а салфетке окурком :))

1
Мне понравилась статья в Википедии "Дилемма заключённого".

Приведу её начало:

Дилемма заключённого (англ. Prisoner's dilemma, реже употребляется название «дилемма бандита») — фундаментальная проблема в теории игр, согласно которой игроки не всегда будут сотрудничать друг с другом, даже если это в их интересах. Предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

Суть проблемы была сформулирована Мерилом Фладом (Merrill Flood) и Мелвином Дрешером (Melvin Dresher) в 1950 году. Название дилемме дал математик Альберт Такер (Albert W. Tucker).

В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, не важно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.

Ведя себя по отдельности рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали (единственное равновесие в этой игре не ведёт к Парето-оптимальному решению). В этом и заключается дилемма.

В повторяющейся дилемме заключённого игра происходит периодически, и каждый игрок может «наказать» другого за несотрудничество ранее. В такой игре сотрудничество может стать равновесием, а стимул предать может перевешиваться угрозой наказания (с ростом числа итераций равновесие Нэша стремится к Парето-оптимуму).


Там еще много интересного. Особенно интересно о повторяющихся играх, когда игроки постепенно переходят к сотрудничеству. :)

0
Самое интересное, что там дана лучшая стратегия поведения в жизни. Надо быть:
- добрым (первым не предавать)
- мстительным (наказывать за предательство)
- прощающим (прерывать серию взаимных предательств и начинать сотрудничать)

Теперь понятно как надо себя вести в разных ситуациях!

0
Это все хорошо, я только одного не пойму,
откуда взялась уверенность, что заключенные будут вести себя именно так?

После 2й мировой в американской психологии было сильно направление бихевиоризма, фактически , дрессировки и контроля,
предполагалось, что представители низших классов общества умственно и морально неполноценны.

Может, отсюда?

Войдите на сайт или зарегистрируйтесь, чтобы оставить комментарий

Страхование экстремальных и активных видов спорта

Выберите вид спорта:
По вопросам рекламы пишите ad@risk.ru