На досуге. К теории Риска. Финишировали!

Если оба заключенных будут молчать - обоим сидеть по 1-му месяцу.
Если оба заключенных все расскажут - обоим сидеть по 6 месяцев.
Если один из заключенных будет молчать, а другой всё расскажет - то молчуну впаяют 8 месяцев, а рассказчика немедленно отпустят.

Вот как это выглядит на картинке:

В табличках прописаны сроки лишения свободы для каждого из заключенных, при вот таких действиях:

U0 - заключенный U молчит,
U1 - заключенный U говорит,
V0 - заключенный V молчит,
V1 - заключенный V говорит.

Разобравшись в своих предпочтениях, я пригласил на следующий день Сашу на новую чашечку чая с брусничным вареньем и немедленно предложил сыграть.

О том, что из этого получилось, я расскажу позже.

Вот так мы провели первое и пока единственное испытание. А вот как поведет себя население в среднем? Вот, в чем вопрос...

Понятно, что это не простое население, это аудитория Риска, со всеми специфическими особенностями. :)

Итак, каждому в опросе предлагается представить, что он находится в КПЗ, и что в соседней камере сидит знакомый, которому угрожает та же участь, что и вам. Требуется выбрать одно из двух:

"Буду молчать" (U0)
"Всё расскажу" (U1).

Туристы в страшном ледопаде. Они мирно жуют курагу и просчитывают свои риски. Они не подозревают, что к ним уже подкрался неотвратимый ......

Ну что, проголосовали?
Тогда дальше...

В тот же день я раскопал парадокс о двух конвертах, который поверг меня в замешательство и надолго выключил из растительной жизни. Отправляясь на работу, Саша поцеловал меня и сказал: "Спасибо, папок, давненько в жизни не было ничего интересного, пойду поразмышляю о двух конвертах".

Парадокс о двух конвертах.

Коля положил в два одинаковых почтовых конверта некоторую сумму денег, причем в один из них ровно в два раза больше, чем в другой. Потом он подбросил монетку и, повинуясь случаю, один из конвертов вручил Васе, а другой Пете.

Вася открыл конверт, пересчитал деньги и подумал так: "У меня в конверте сумма X. Значит, с вероятностью 0.5 в конверте у Пети лежит сумма X/2 и с вероятностью 0.5 он обладает суммой 2X. Выгодно ли мне меняться? Ожидаемый выигрыш от обмена конвертами равен: 0.5 * (X/2 - X) + 0.5 * (2X - X) = 0.25 * X > 0. Значит, меняться выгодно!"

Аналогично может рассуждать и Петя. Получается, что меняться выгодно обоим. Но ведь, это же лажа!

О проведенном мною исследовании этого парадокса я расскажу позже, к его правильному восприятию необходима предварительная подготовка.

А ночью мне приснился странный пример, когда одна случайная величина содержит информацию о другой, а та другая не содержит информации о первой. Я сейчас объясню, почему это странно.

Дело в том, что в обычной теории вероятностей отсутствие информации эквивалентно взаимной независимости случайных величин, а значит, ситуация с отсутствием информации симметрична. Действительно, случайная величина X не содержит информации относительно случайной величины Y, если и только если, X и Y независимы, а это, в свою очередь, необходимо и достаточно для того, чтобы случайная величина Y не содержала информации о случайной величине X.

Однако в теории вероятностей взаимное распределение случайных величин X и Y считается известным. Совсем иначе, если мы имеем дело со статистически неопределенной ситуацией.

Вот, какой пример мне приснился:

Две бинарные (т.е. принимающие два значения 0 и 1) случайные величины X и Y имеют совместные распределения, которые отражены табличками. Распределений два. Случайная величина X принимает значение 0 с вероятностью 2/3 и значение 1 с вероятностью 1/3 независимо от распределения. А вот случайная величина Y принимает свои значения с вероятностями 2/3 и 1/3 уже в зависимости от распределения. При первом распределении (V=0) более вероятно значение Y=0, а при втором распределении (V=1) более вероятно значение Y=1. Какое из распределений истинно - не известно.

В этом примере случайная величина X содержит информацию о случайной величине Y, но не наоборот, случайная величина Y информации об X не содержит.

"Мама, а розочка бывает больше самолёта?" "Что ты, Вовочка, розы намного меньше самолёта". "Даже если один шанс на миллион?" "Розы всегда меньше самолёта". "А почему папа сказал, что шанс один на миллион, а самолёт опять розочкой накрылся?"

Попробую объяснить этот пример.
Но для этого сначала расскажу о рандомизированных стратегиях.

Однажды участник нашего памирского похода меня спросил: "А почему ты в одинаковых ситуациях принимаешь разные решения, то так, то эдак?" В ответ я отшутился: "Это потому, что я использую рандомизированные стратегии". Тогда я осознал, что о рандомизированных стратегиях, увы - мало кто знает...

Рандомизированная стратегия, это когда вы кидаете монетку, чтобы принять решение. Во многих задачах она позволяет получить оптимальный гарантированный результат и подсказывает самый рациональный способ поведения. Когда, еще будучи студентом, я впервые узнал об этом, то это стало революцией в моей голове! Представить, что оптимальное поведение требует инструмента в виде мешочка с костями...
Представить такого я не мог.

Рассмотрим такую задачку:

U=0 или U=1 - это два варианта вашего решения. Y=0 или Y=1 - это два возможных значения неизвестной вам величины. Это могут быть непредсказуемые действия другого человека или какой либо иной параметр, который, если и можно считать случайным, то о его распределении, всё равно, ничего не известно. А в табличке проставлены суммы денег, которые вы можете выиграть или проиграть.

Как бы вы себя не вели, от проигрыша, всё равно, не застрахованы. Если выберете U=0, то можете проиграть 700 рублей. А если выберете U=1, то можете проиграть 1700. При равных выигрышах решение U=0 безобиднее, поэтому и выглядит предпочтительнее.

Однако существует способ извлечь из этой ситуации положительный в среднем выигрыш! Иначе говоря, при многочисленных повторениях этой игры вы начнете обогощаться, как бы не вела себя величина Y. Единственно, что не разрешается в этой задачке, чтобы Y "подсматривала ваши решения" и уже после каждого вашего выбора нагло подсовывала вам проигрыш. :)

Давайте принимать решение U=0 с вероятностью P и решение U=1 с вероятностью 1 - P. Тогда при Y=0 ваш ожидаемый выигрыш равен:

Q = -700 * P + 1300 * (1-P) = 1300 - 2000 * P.

А при Y=1 ожидаемый выигрыш равен:

Q = 1300 * P - 1700 * (1-P) = 3000 * P - 1700.

Первый выигрыш падает с ростом P, а второй растет.

Вычислим P, при котором эти выигрыши уравниваются. Легко убедиться, что равенству соответствует P = 3/5 = 0.6 . При такой вероятности, в обоих случаях, независимо от значения Y, ожидаемые выигрыши равны 100 руб. > 0. Стоит, хоть немного отклониться от этой вероятности, как вы рискуете получить ожидаемый выигрыш меньше 100 рублей или даже реально проиграть.

Вот так.
Кидайте монетку, господа!

Это и есть рандомизированная стратегия.

Вы можете себе представить, что наилучший ледоруб состоит из двух ледорубов? Наклейка одна: BD-22, а ледорубов два, и разной конструкции. Один вам приносят со склада с вероятностью 0.6, а другой с вероятностью 0.4 :))))

Продолжение следует...

Обсуждение парадоксов, расчеты и результаты голосования оформлены в отдельной статье на моей личной ленте вот ЗДЕСЬ:

1. А. Лебедев. Анализы парадокса о двух конвертах и задачи о двух заключенных.